Centrální limitní věta - přehled, historie a příklad

Central Limit Theorem (CLT) je statistický koncept, který uvádí, že průměrné rozdělení vzorku náhodné proměnné bude předpokládat téměř normální nebo normální rozdělení, pokud je velikost vzorku dostatečně velká. Zjednodušeně řečeno, věta uvádí, že distribuce vzorkování průměrného středního průměru je základním pojmem v matematice a statistice. Průměr obecně označuje průměrnou nebo nejběžnější hodnotu ve sbírce přístupů k normálnímu rozdělení, jak se zvětšuje velikost vzorku, bez ohledu na tvar původního rozdělení populace.

Centrální limitní věta (CLT) Diagram ukazující konvergenci na normální rozdělení

Jak uživatel zvýší počet vzorků na 30, 40, 50 atd., Graf prostředků vzorku se posune směrem k normálnímu rozdělení. Velikost vzorku musí být 30 nebo vyšší, aby centrální limitní věta zůstala v platnosti.

Jednou z nejdůležitějších složek věty je, že průměr vzorku bude průměrem celé populace. Pokud vypočítáte průměr více vzorků populace, sečtete je a zjistíte jejich průměr, výsledkem bude odhad průměru populace.

Totéž platí při použití standardní odchylky Standardní odchylka Z hlediska statistiky je standardní odchylka souboru dat měřítkem velikosti odchylek mezi hodnotami obsažených pozorování. Pokud vypočítáte směrodatnou odchylku všech vzorků v populaci, sečtete je a zjistíte průměr, výsledkem bude směrodatná odchylka celé populace.

Jak funguje centrální limitní věta?

Centrální limitní věta tvoří základ rozdělení pravděpodobnosti. Usnadňuje pochopení toho, jak se chovají odhady populace, když jsou podrobeny opakovanému vzorkování Chyba typu II Ve statistickém testování hypotéz je chyba typu II situací, kdy test hypotézy nedokáže odmítnout nulovou hypotézu, která je nepravdivá. V jiných . Když je vynesena do grafu, věta ukazuje tvar distribuce vytvořený pomocí vzorků opakované populace.

Jak se velikosti vzorků zvětšují, rozdělení prostředků z opakovaných vzorků má tendenci se normalizovat a podobat se normálnímu rozdělení. Výsledek zůstává stejný bez ohledu na to, jaký byl původní tvar distribuce. To lze ilustrovat na následujícím obrázku:

Centrální limitní věta (CLT) - jak vzniká

Z výše uvedeného obrázku můžeme odvodit, že navzdory skutečnosti, že původní tvar distribuce byl jednotný, má tendenci k normálnímu rozdělení, jak se zvyšuje hodnota n (velikost vzorku).

Kromě zobrazení tvaru, který vzorový prostředek zaujme, poskytuje centrální limitní věta také přehled střední hodnoty a rozptylu distribuce. Průměr distribuce vzorku je skutečný průměr populace, ze kterého byly odebrány vzorky.

Rozptyl distribuce vzorku je na druhé straně rozptyl populace děleno n. Čím větší je velikost distribuce vzorku, tím menší je rozptyl průměru vzorku.

Příklad centrální limitní věty

Investor má zájem odhadnout návratnost indexu akciového trhu ABC, který se skládá ze 100 000 akcií. Vzhledem k velké velikosti indexu Dow Jones Industrial Average (DJIA) je index Dow Jones Industrial Average (DJIA), běžně označovaný také jako „Dow Jones“ nebo jednoduše „Dow“, jedním z nejpopulárnějších a nejrozšířenějších uznávané indexy akciových trhů, investor není schopen analyzovat každou akci samostatně a místo toho se rozhodne použít náhodný výběr k získání odhadu celkového výnosu indexu.

Investor vybírá náhodné vzorky akcií, přičemž každý vzorek obsahuje alespoň 30 akcií. Vzorky musí být náhodné a všechny dříve vybrané vzorky musí být nahrazeny v následujících vzorcích, aby nedošlo k zaujatosti.

Pokud první vzorek vyprodukuje průměrný výnos 7,5%, další vzorek může vyprodukovat průměrný výnos 7,8%. Vzhledem k povaze náhodného vzorkování bude mít každý vzorek jiný výsledek. Jak zvětšujete velikost velikosti vzorku s každým vybraným vzorkem, prostředky vzorku začnou vytvářet vlastní distribuce.

Distribuce vzorkovacích prostředků se bude pohybovat směrem k normálu, jak se zvyšuje hodnota n. Průměrný výnos akcií ve vzorovém indexu odhaduje návratnost celého indexu 100 000 akcií a průměrný výnos je obvykle rozdělen.

Historie centrální limitní věty

Původní verzi věty o ústředním limitu vytvořil Abraham De Moivre, francouzský matematik. V článku publikovaném v roce 1733 De Moivre použil normální rozdělení k nalezení počtu hlav vyplývajících z několika losování mincí. Koncept byl v té době nepopulární a byl rychle zapomenut.

V roce 1812 však koncept znovu zavedl Pierre-Simon Laplace, další slavný francouzský matematik. Laplace znovu představil koncept normálního rozdělení ve své práci s názvem „Théorie Analytique des Probabilités“, kde se pokusil přiblížit binomické rozdělení na normální rozdělení.

Matematik zjistil, že když se počet nezávislých náhodných proměnných zvýší, mají tendenci sledovat normální rozdělení. V té době Laplaceovy závěry o teorému o mezní pozornosti přitahovaly pozornost dalších teoretiků a akademiků.

Později v roce 1901 byla centrální limitní věta rozšířena ruským matematikem Aleksandrem Lyapunovem. Lyapunov šel o krok vpřed, aby definoval koncept obecně a dokázal, jak tento koncept funguje matematicky. Charakteristické funkce, které použil k poskytnutí věty, byly převzaty do moderní teorie pravděpodobnosti.

Související čtení

Finance je oficiálním poskytovatelem globálního certifikátu Financial Modeling & Valuation Analyst (FMVA) ™ Certifikace FMVA® Připojte se k více než 350 600 studentům, kteří pracují pro společnosti jako Amazon, JP Morgan a Ferrari certifikační program, jehož cílem je pomoci komukoli stát se finančním analytikem světové úrovně . Chcete-li se dále vzdělávat a rozvíjet svou kariéru, budou užitečné další finanční zdroje uvedené níže:

  • Bayesova věta Bayesova věta Ve statistice a teorii pravděpodobnosti je Bayesova věta (známá také jako Bayesovo pravidlo) matematický vzorec používaný k určení podmíněné
  • Centrální tendence Centrální tendence Centrální tendence je popisný souhrn datové sady prostřednictvím jediné hodnoty, která odráží střed distribuce dat. Spolu s variabilitou
  • Zákon velkých čísel Zákon velkých čísel Ve statistice a teorii pravděpodobnosti je zákon velkých čísel teorém, který popisuje výsledek opakování stejného experimentu velkého počtu
  • Pravidlo celkové pravděpodobnosti Pravidlo celkové pravděpodobnosti Pravidlo celkové pravděpodobnosti (známé také jako zákon o celkové pravděpodobnosti) je základním pravidlem ve statistice týkající se podmíněných a mezních

Poslední příspěvky